✨ مسئله‌ی اتصال نقاط و محاسبه پاره‌خط‌ها ✨

🤔بیایید با هم این مسئله را حل کنیم! 🚀

📝 صورت مسئله

اگر 25 نقطه در یک ردیف قرار گیرند و هر نقطه به تمام نقاط دیگر متصل شود، چند پاره‌خط خواهیم داشت؟ 🤩

💡 روش اول: استدلال ساده

هر نقطه می‌تواند با 24 نقطه‌ی دیگر یک پاره‌خط تشکیل دهد. پس در ابتدا به نظر می‌رسد که تعداد پاره‌خط‌ها برابر است با 25 * 24. اما این عدد اشتباه است، زیرا هر پاره‌خط بین دو نقطه مشترک است. یعنی ما هر پاره‌خط را دو بار شمارش کرده‌ایم (یک بار از دیدگاه نقطه‌ی اول و یک بار از دیدگاه نقطه‌ی دوم). بنابراین، باید نتیجه را بر 2 تقسیم کنیم.

\frac{25 \times 24}{2} = 300

بنابراین، تعداد پاره‌خط‌ها برابر با 300 است. 🎉

🧮 روش دوم: استفاده از ترکیب

این مسئله را می‌توان به عنوان یک مسئله‌ی ترکیبی در نظر گرفت. ما می‌خواهیم تعداد راه‌های انتخاب 2 نقطه از بین 25 نقطه را محاسبه کنیم، زیرا هر دو نقطه یک پاره‌خط را تشکیل می‌دهند. این کار با استفاده از فرمول ترکیب انجام می‌شود:

C^{n} = \frac{n}{k \times (n - k)}

در این مسئله، n = 25 (تعداد کل نقاط) و k = 2 (تعداد نقاطی که برای تشکیل یک پاره‌خط انتخاب می‌کنیم). پس:

C^{25} = \frac{25}{2 \times (25 - 2)} = \frac{25}{2 \times 23} = \frac{600}{46} = 300

باز هم نتیجه 300 پاره‌خط به دست می‌آید. 🥳

📊 روش سوم: الگو یابی

می‌توانیم با بررسی تعداد نقاط کمتر، یک الگو پیدا کنیم:

اگر 2 نقطه داشته باشیم: 1 پاره‌خط
اگر 3 نقطه داشته باشیم: 3 پاره‌خط
اگر 4 نقطه داشته باشیم: 6 پاره‌خط
اگر 5 نقطه داشته باشیم: 10 پاره‌خط

این اعداد، اعداد مثلثی هستند. فرمول عدد مثلثی nام به صورت زیر است:

T_{n} = \frac{n}{(n + 1)}

در این مسئله، n = 25 است. پس:

T_{25} = \frac{25}{(25 + 1)} = \frac{25}{\times} = 325

این فرمول اشتباه است. فرمول درست برای تعداد پاره‌خط‌ها n(n-1)/2 است که همان فرمول ترکیب است.

🤔 توضیح اصطلاحات

پاره‌خط: بخشی از یک خط که دارای دو نقطه ابتدا و انتها است. 📏
ترکیب: روشی برای انتخاب تعدادی آیتم از یک مجموعه بدون در نظر گرفتن ترتیب. 🔠
عدد مثلثی: عددی که می‌توان آن را به صورت مجموع اعداد طبیعی متوالی نمایش داد (مانند 1، 3، 6، 10 و غیره). 📐

💡 توضیحات تکمیلی

این مسئله یک مثال ساده از کاربرد ترکیبات در ریاضیات است. ترکیبات به ما کمک می‌کنند تا تعداد راه‌های انتخاب تعدادی آیتم از یک مجموعه را بدون در نظر گرفتن ترتیب محاسبه کنیم. این مفهوم در بسیاری از زمینه‌های دیگر مانند احتمال، آمار و علوم کامپیوتر نیز کاربرد دارد.